Fondamentaux de géométrie pour les concours - CAPES - Agrégation de mathématiques

Question de Freddy, ce 10 novembre 2009 : Quelle différence y a-t-il entre ce nouveau livre de géométrie et le gros cours de géométrie que j'ai commandé ? Ce sont bien deux livres de géométrie ?
djm : Le Cours de géométrie expose un cours complet de A à Z. C'est la force tranquille. Il permet de travailler en profondeur sur des thèmes de géométrie, d'apprendre, d'avancer comme un rouleau compresseur...
Mais pour bien préparer un concours, il ne faut pas se contenter de ce qu'on lit au moment où on le lit, et il ne faut pas se contenter d'un savoir approximatif. Il faut retenir, avoir réfléchi sur les notions que l'on a lu, et avoir pris toutes ses marques pour être capable d'expliquer parfaitement ce qu'on a appris. Il faut intégrer ce savoir dans son être, à sa façon, pour pouvoir l'utiliser à l'écrit et répondre à des questions à l'oral. Le jury d'oral posera des tas de questions pour savoir jusqu'où on a approfondi une notion. Ce sont des questions simples, mais si l'on n'est pas préparé, ces questions peuvent devenir assassines.
Par exemple, si à l'occasion d'un exposé quelconque un examinateur demande de définir exactement ce que l'on entend par "une droite du plan", demande de démontrer complètement le cinquième postulat d'Euclide, ou désire savoir s'il existe effectivement des produits scalaires dans le plan, il faudra être capable de lui répondre aussi précisément que possible, et ne pas rester bouche bée.
Le livre sur lequel j'ai travaillé s'intitule "Acquisition des Fondamentaux pour les Concours". Il s'agit pour commencer du volume IV sur de la géométrie. Dans ce livre, l'accent est mis sur l'acquisition des fondamentaux. J'ai décidé de me concentrer sur des questions qui permettent d'apprendre et de prendre ses propres marques. Il y a quatre sortes de questions :
a) des questions effectivement posées à l'oral d'un concours,
b) des questions effectivement posées dans des écrits de concours, et qu'il convient de savoir résoudre,
c) des questions de cours, telles qu'on peut les poser pendant un entretien ou retrouver dans des problèmes d'écrit,
d) des questions d'application des résultats fondamentaux du cours, pour aider à apprendre son cours, pour apprendre à réagir rapidement (à l'écrit ou à l'oral) devant un problème qui est à portée de soi, et pour proposer une base de données de petits faits que l'on peut retenir pour agrémenter un exposé à l'oral.
Bref c'est tout un poème... Mais je m'amuse à ça !
Sans rire, il y a une grosse différence entre connaître une méthode, comme l'orthonormalisation de Schmidt, et savoir énoncer ET démontrer le résultat correspondant si on le demande...

Mercredi 23 décembre 2009, de Jean-Paul : (...) Aussi, concernant un message posté sur MégaMaths, je vois qu'une mégamathienne s'inquiète du délai de livraison (un peu long), pourquoi ne pourrait-elle pas utiliser le livre avant les écrits ? Les écrits sont prévus début mars... Bref, j'espère aussi recevoir ce fameux cadeau de Noël dans peu de temps pour pouvoir l'attaquer au plus vite.
djm : Le délai d'expédition est plus long quand il s'agit d'une dernière nouveauté qui commence tout juste à être placée sous presse. En une ou deux semains, mon éditeur aura le temps de constituer un stock pour lui permettre de répondre en 6 jours environ. Je pense qu'on pourra avoir de bonnes surprises même si pour l'intant il affiche 2 à 3 semaines de délais. (...)
L'écrit du concours du CAPES interne est prévu le 2 février 2010, ce qui explique l'inquiétude d'Elisabeth au sujet des délais de livraison. Le CAPES externe a lieu les 9 et 10 mars 2010. Ceci dit, le livre "Acquisition des fondamentaux pour les concours" s'adresse aussi tout spécialement à ceux qui préparent les oraux et doivent bien connaître les questions classiques qu'on risque fort de leur poser. Après l'écoute d'un exposé, le jury pose des questions pour vérifier que le candidat connaît bien le sujet qu'il a présenté, et choisit ses questions dans une sorte de "check list" de questions de base où toute chute du candidat risque fort d'être mal interprétée, et donne l'occasion de poser d'autres questions pour mesurer le degré de méconnaissance d'un thème. Le jury est là d'abord pour pister les lacunes ! Cela peut aller assez loin, et poser question sur question peut facilement mener jusqu'aux axiomes de base de géométrie (si l'on est interrogé en géométrie). C'est pour cela que mon livre centré sur les fondamentaux permet un entraînement tout à fait spécial.
Imaginons un entretien très simple. Le jury demande :
- Quel Théorème utilisez-vous ici ?
- Le Théorème de Thalès.
- Pouvez-vous l'énoncer complètement et le démontrer ?
- Oui. Voilà pour l'énoncé (...) et je peux le prouver en utilisant des homothéties ou des projections (...).
- Vous utilisez des mesures algébriques. Comment les définissez-vous ?
- Lorsque deux points A et B sont sur une droite donnée D, et si je choisis une orientation de cette droite, alors par définition la mesure algébrique du bipoint (A,B) est +AB si "A est avant B", et -AB dans le cas contraire (je note AB la distance de A à B).
- Donc vous avez besoin d'une distance pour définir une mesure algébrique ?
- Oui.
- Le théorème de Thalès est-il un résultat affine ou un résultat euclidien ?
- Ah je vois ! Non, le Théorème de Thalès est un résultat affine. On n'a pas besoin de la distance pour l'énoncer (et le démontrer). En fait, on peut facilement définir la mesure algébrique d'un bipoint sur une droite sans utiliser de distance, et donc sans faire intervenir un hypothétique plan euclidien. Voilà comment l'on s'y prend (...).
- Parfait, mais il y a un petit problème. Si l'on n'a pas le droit d'utiliser une distance, alors les mesures algébriques de bipoints dépendent du choix d'un repère sur la droite D. Les valeurs des rapports qui apparaissent dans le Théorème de Thalès deviennent donc, a priori, dépendant du choix des repères sur les droites sécantes... Comment pouvez-vous expliquer ce phénomène.
- C'est simple : si les mesures algébriques dépendent du choix du repère, les rapports de mesures algébriques n'en dépendent pas. Il suffit d'écrire...
- Non, non, laissez. Passons à autre chose : savez-vous démontrer le Théorème de Thalès en utilisant seulement les axiomes d'un espace affine ?
- Oui, voici (...).
- Parfait. Et le Théorème de Thalès admet-il une réciproque ?
- La voici : (...).
- Est-ce une vraie réciproque ?
- Non, bien sûr, car (...). En fait on continue à parler de réciproque. C'est la coutume...
- Certainement, et savez-vous comment faire pour démontrer cette réciproque ?
- Là, c'est facile...
- Bon merci, on laisse tomber au sujet de la réciproque [Sous-entendu : vous la connaissez, cela se voit, donc tout va bien, vous gagnez des points... et on continue avec une autre question...]. Une dernière question : et si on vous demandait de démontrer le Théorème de Thalès dans une classe de collège en utilisant des aires ? Vous sauriez proposer une démonstration ?
Voilà, je viens juste d'imaginer un entretien qui tournerait autour du Théorème de Thalès, en exagérant un peu (mais pas trop !). Disons qu'il y a beaucoup de questions à poser et que s'intéresser autant à Thalès suppose que l'on soit tombé sur un exposé ou une séquence d'exercices qui concerne ce théorème. Les questions seront aussi posées en fonction de ce que l'on aura dit (ou caché) pendant la première phase de l'épreuve orale où c'est le candidat qui a la parole. Tout de même, cet "entretien inventé" donne une bonne idée du choix didactique que j'ai privilégié en collectionnant toutes ces questions basiques et en les réunissant dans ce livre, et bien sûr en essayant d'y répondre avec clarté pour que ce livre devienne un outil d'apprentissage et d'entraînement. On pourra faire un peu de musculation chaque jour :)
Bien entendu, toutes les questions posées ci-dessus se retrouve dans mon livre avec les réponses. Encore heureux ! (...) Pour en lire encore plus sur le pourquoi de cette approche des concours, cliquez ici !

Mercredi 27 janvier 2010, de A.D. : Je suis en train de travailler sur votre TD de géometrie sur les coniques et j'ai un problème sur les notations. Je comprends que, quand vous écrivez MF, il s'agit de la distance de M à F. Par contre je ne comprends pas ce que signifie MF avec un trait par-dessus. En effet cela vous permet d'écrire : MF = eMK et M ∈ Δ ⇔ MF = +ou- eMK avec un trait sur MF et MK à droite de l'équivalence.
Que signifie cette notation ?
djm : Attention : il faut absolument connaître la (les) définition(s) d'une mesure algébrique d'un bipoint sur un axe ! Cela fait partie des questions classiques qui sont posées au candidat à l'oral à l'occasion d'un exposé où intervient le théorème de TThalès. Si vous présentez Thalès avec des distances en envisageant plusieurs cas de figure, comme en collège et lycée, le jury aime bien demander de "fédérer" un peu tous ces cas en proposant un énoncé plus complet... Donc en utilisant des mesures algébriques. Et à l'opposé, si on présente Thalès avec des mesures algébriques, le jury demande comment on en parlerait en collège.
C'est bien expliqué dans la leçon sur Thalès dans le volume IV de "L'épreuve d'exposé au CAPES mathématiques" (voir les questions du jury), et je repose cette question dans mon livre "Acquisition des fondamentaux pour les concours vol. IV" (voir la question 105) car c'est une question du jury qu'il faut pister, pour sûr. Et que le but de ce dernier livre est, entre autre, de pister les questions du jury...
Suivez ce lien et allez à la page 33 de mon livre pour l'énoncé de la Question. Allez ensuite aux pages 166-167 pour la réponse que je donne.
La mesure algébrique sur une droite est le premier pas vers la notion de vecteur (du moins historiquement).