L'épreuve d'exposé au CAPES mathématiques, leçons rédigées et commentées, volume IV, par Dany-Jack Mercier

Ce 2 avril 2008, de Franck : (...) Je viens de recevoir le volume IV de l'épreuve d'exposé et me délecte de son contenu. Par contre j'ai une remarque : je comprends que Publibook pour des raisons économiques et écologiques ait réduit l'épaisseur des pages, mais je trouve que ça se fait au détriment de la lecture car on on voit au travers et c'est moins confortable que sur les anciennes éditions. J'avais déjà remarqué cela sur les annales agreg interne, mais ça m'avait moins dérangé car je ne fais pas la même utilisation de ce livre.
Pourriez vous faire remonter l'information à Publibook. Merci et encore bravo pour votre travail.
djm : Oui, j'ai déjà eu quelques mails de lecteurs qui ont relevé la même difficulté. Les réponses sont toujours celles que vous indiquez (économies, écologie, poids moins lourd donc portabilité accrue) mais c'est tout de même au détriment de la lecture, ce qui est paradoxal.Pourrait-on imaginer un papier légèrement plus épais de sorte qu'on ne voie jamais à travers icelui ? Je pose cette question à mon correspondant chez Publibook qui aura peut-être des idées. En tout cas, je fais remonter l'information... Et bien sûr, je suis content que vous appréciez le contenu du volume IV, ce qui me motive rudement pour m'atteler lourdement au volume V... où tout est à faire. Mais petit à petit, ça risque d'avancer si la nature le permet :) (...)

Ce 7 avril 2008, de Claudy : (...) C'est dingue le nombre de difficultes qu'on rencontre et le nombre de choses à justifier dans une lecon ! J'ai une question à vous poser concernant la leçon sur les extremums. Dans votre théorème 228 du tome 4, page 495, j'ai l'impression qu'on peut se passer de l'hypothèse : la dérivée s'annule en a. En effet, on fait votre tableau sans mettre de valeur pour la dérivée de f en a, les variations de f à gauche et à droite de a nous assurent que a est un extremum et donc on récupère que la dérivée de f s'annule en a par la condition nécessaire citéé au théoreme 227. Qu'en pensez-vous ?
djm : Je pense que vous avez raison. L'énoncé du Théorème 228 est celui qu'on retient d'habitude, et celui qui vient le plus vite à l'esprit dès qu'on parle de recherche d'extremums. Ce que vous dites est vrai : je peux seulement supposer que f' change de signe en a et construire les deux tableaux de variations possibles. A ce niveau, on déduit, par exemple (l'autre cas est identique) que f croît lorsqu'on est strictement à droite de a, et décroît quand on est strictement à gauche de a. Comme f est supposée dérivable sur I, elle est continue sur I, donc aussi en a, et cela entraîne que f croît lorsque x est supérieur ou égal à a, et décroît quand x est inférieur ou égal à a. D'où l'extremum. Et comme vous le dites, le Théorème 227 prouve alors que nécessairement f'(a)=0.
C'est une condition suffisante bien usuelle, puisqu'on travaille en général avec des fonctions dérivables. Donc voir que f' s'annule en a ne posera pas de problème. Mieux, comme on est souvent avec des fonctions continûment dérivables, si la dérivée change de signe en a, alors elle s'annule en a, et cela nous donne une méthode pour chercher les points a où il risque d'y avoir un extrémum relatif : on cherche d'abord où s'annule la dérivée, puis on regarde ensuite si elle change de signe ou non en ces points. C'est ce qu'on fait quand on utilise le Théorème 227 en fait : on se dit que, si f est dérivable sur l'intervalle I ouvert, et si elle admet un extremum en a, alors f'(a)=0. Bref, on s'intéresse d'abord aux points qui annulent la dérivée. Voilà peut-être pourquoi on reparle de cette dérivée qui s'annule au Théorème 228.
Mais votre remarque peut être utilisée pour affaiblir les hypothèses du Théorème 228 : après tout, il n'est pas interdit de supposer que f est dérivable sur I\{a} et continue sur I, et que f' change de signe en a (autrement dit qu'elle possède un signe quand on est sur I inter ]a,+oo[, et l'autre signe quand on est sur I inter ]-oo, a[). Ici, f n'est plus forcément dérivable en a. La fonction x|-->|x| qui admet un minimum en 0 nouzs fournit un exemple.

Question posée une mégamathienne le 6 mai 2008 : (...) Je prépare la lecon sur la définition vectorielle d une droite d un plan, avec des equations parametriques et du parallélisme, en utilisant votre tome IV. Les postulats d euclide sont-ils un luxe ou bien sont-ils indispensables dans cette lecon ? (...)
djm : C'est un luxe, mais on ne sait jamais quelles seront les questions du jury. Il pourrait en poser une dessus, du genre : vous en connaissez un ? Vous pouvez le démontrer en utilisant votre définition d'une droite ? Vous voyez le tableau. C'est pour cette raison que j'en ai parlé un peu dans mon volume IV... Bonne continuation :)

Question d'une mégamathienne ce 7 mai 2008 : Je vois que vous proposez de démontrer qu'une droite et un cercle se coupent en au plus 2 points dans votre tome IV page 268 lemme 10. Vous proposez une demonstration analytique. Ne peut-on pas faire une démonstration géometrique en raisonnant par l'absurde, en supposant que la droite et le cercle se coupent en 3 points ? Dans ce cas on aurait 3 points sur une droite et sur un cercle. Peut-on conclure que c'est absurde ? Ou bien n'est-ce pas suffisant ? Merci d avance pour votre reponse.
djm : Oui, c'est suffisant. Mais il faut que vous me disiez exactement où est l'absurdité, et sans utiliser d'équations pour voir le côté absurde de la chose, autrement on les aurait utilisé dès le début et on serait retombé sur la solution analytique que je propose dans le livre...
Voilà, je pense que je ne l'ai écrit nulle part, mais on peut démontrer qu'une droite coupe un cercle en au plus 2 points sans avoir recours aux équations. Je raisonne par l'absurde en supposant qu'une droite D coupe un cercle C de centre O en au moins trois points A, B, C distincts. J'appelle I, J, K les milieux de [AB], [BC], [CA]. Dire que A, B, C sont distincts équivaut à dire que I, J, K sont distincts (le démontrer par exemple en utilisant des abscisses : c'est alors très rapide). Mais alors, les médiatrices de [AB], [BC], [CA] devraient toutes passer par le centre O du cercle, et ces médiatrices sont les perpendiculaires à D passant par I, J, K qui sont distincts sur D. Elles sont donc strictment parallèles et ne peuvent pas se couper (sous peine de coïcider !). Génial : on vient de trouver notre absurdité !

21 avril 2001, de Mathieu : (...) je vous contacte car j'ai une question sur un résultat présent dans votre quatrième tome concernant lépreuve d'exposé, chapitre 6: projection orthogonale sur une droite. Plus particulièrement le paragraphe "rapports de projection", vous enoncez :" le théo de thalès montre que les rapports (...) decrivent D" mais je n'arrive pas à obtenir ce rapport et son indépendance.
autre question devons nous dans la leçon 32 concernant le triangle rectangle parlez d'abord de ce rapport de projection pour introduire le cosinus et le sinus d'un angle avant de parler de trigonométrie liée au triangle rectangle? (...)
djm : Je vous envoie une explication pour les rapports M'N'/MN. Pour la leçon sur le triangle rectangle, les définitions des cosinus et sinus d'un angle font partie des prérequis. On peut donc décider soi-même de la façon dont-on est censé les avoir introduits avant. Grosso modo, on peut utiliser une définition très large (valable pour des angles orientés, et qui consiste à parler de la matrice de la rotation ad hoc dans une base orthonormale directe du plan vectoriel) ou opter pour la définition des cosinus et sinus des angles aigus présentée en collège.
Ceci dit, vous pouvez, si vous en avez vraiment envie, parler rapidement de l'une ou l'autre de ces définitions dans l'introduction de votre leçon sur les triangles rectangle, mais sans y passer trop de temps car ce n'est pas l'objectif principal. (...)

21 avril 2001, de Miloud : (...) Bonjour, je voudrais vous poser une question sur la leçon 68 sur les développements limités que vous avez traiter dans "L'épreuve d'exposé au CAPES math., volume 4". Au début de leçon à propos du voisinage A. Est-ce qu'on n'est pas obligé de considérer A privée du point a puisque, par ex, la fonction f(x)= sinx/x admet un DLn(0) et pourtant elle n'est pas définie en 0 (A ici est de la forme ]-2;0[U]0;2[). si on définie A telle que vous le faite est-ce que on peut dire malgré tout que f admet un DLn(0)? et dans ce cas quelle serait une forme possible de la partie A? est ce vous pensez que ce genre de leçon tombe souvent?
djm : Il vaut mieux simplifier les choses et ne s'intéresser que au cas où la fonction est effectivement définie au point où on veut écrire un développement limité. Sinon, il s'agit de généralisations qui intéressent effectivement certaines fonctions comme sinx/x, et pour lesquels ont restrinent les définitions à une partie A plus petite.
Pour un développement limité en a, il s'avère indispensable que a soit un point d'accumulation de l'ensemble de définition D de f (a doit donc être dans l'adhérence de D et ne doit pas être un point isolé de D, sinon on ne peut plus s'approcher de a en restant dans D). Quant à A, ce sera une partie de D telle que a soit un point d'accumulation de A. On peut prendre D=A, sauf si cela ennuie, par exemple dans des cas où on a envie de parler de développements limités à droite (ou à gauche) au voisinage de A. (...)

Mardi 21 avril 2009 de Mathieu : Le théorème de Thalès me cause bien des tourments... En effet j'ai décidé de travailler cette leçon en particulier à l'aide de voter ouvrage, j'ai trouvé très interressante l'application de Thalès à la calculatrice exercice 15 page 183 mais malheureusement je n'arrive pas à démontrer la conjecture. Excusez moi de vous déranger encore, mais si vous pouviez me répondre je vous en serai très reconnaissant. Bonne soirée.
djm : Je suis allé voir... Il n'y a pas de piège. Si l'on applique Thalès plusieurs fois, on trouve : MN/BC = ZM/ZB = AU/AB. Comme le rapport AU/AB est fixe (on ne bouge que le point Z sur le segment [AD]), on en déduit que la longueur du segment [MN] reste la même quand Z varie. Bonne soirée itou :)))

Ce 13 juin 2009 de Pierre : (...) J'ai relu toutes mes démonstrations, mais il me reste juste encore deux dernières petites questions que je me permets de vous poser...
Ma première est sur les DL. Est ce qu'une fonction non continue peut admettre un DL? Parce que j'en avais parlé à un ami qui prépare le CAPES avec moi qui m'avait dit oui. Seulement on a l'équivalence suivante : Une fonction est continue si et seulement si elle admet un dl à l'ordre O. Donc pour moi, si elle admet un dl, elle est nécessairement continue. Et donc il ne peut yen avoir ... Mais je voulais en avoir le coeur net.
Et ma deuxième concerne les hypothèses du théorème de Taylor Young. Supposons qu'on choisisse la démonstration par récurrence. DOnc on n'utilise pas Taylor Laplace pour le démontrer. J'ai lu partout qu'il fallait supposer que f soit de classe C^n-1 et qu'elle admette une dérivée nième en a, point où on fait le DL. Seulement vous, vous ne supposez que le fait qu'elle admette une dérivée n'ième alors ça me perturbe un petit peu... Pourquoi est-ce suffisant?
djm : Pour la première question, je pense que la solution vient du voisinage A de a sur lequel on se "limite" sciemment pour comparer des fonctions ou écrire un del. Au début de la section 12.1, je dis par exemple que je n'enlève pas a à ce voisinage : si je l'enlevais, l'hypothèse de continuité serait perdue, ce qui peut être bien à certains moments.
Second point : j'ai regardé le vol IV section 11.1.3 où j'ai heureusement rappelé dès le début de la preuve que dire que fa admet une dérivée d'ordre n en a signifie qu'il existe un voisinage ouvert tel que f soit définie et de classe C^n-1, et que cette fonction soit dérivable en a. Pour parler de dérivée n-ième en a, il faut bien sûr avoir une fonction dérivée (n-1)-ième en a sur un voisinage de a, et que cette dérivée (n-1)-ième soit dérivable en a : comment pourrait-on faire autrement. La propriété étant locale, elle s'intéresse seulement à ce qui se passe "en a".

Ce 14 juin 2009, de Alain : Je lisais votre livre sur les leçons de CAPES et notamment je m'intéressais à la définition du cosinus.J'ai donc lu la leçon sur la projection orthogonale sur une droite du plan,projection vectorielle associée. Et je me posais une petite question : on a deux droites D et D'. Soient M,N deuxpoints de D, M',N' leurs projections orthogonales sur D'. Le rapport de projection, est-ce le rapport M'N' / MN ou OM'/OM? Parce que dans un triangle rectangle ABC, le cosinus de l'angle B, qui est le rapport de projection des cotés de cet angle vaut BA/BC, donc ça voudrait dire que l'on prend plutôt OM'/OM, comme définition du rapport de projection. A moins que par Thalès, les rapports M'N'/MN et OM':OM sont égaux, mais je n'ai pas réussi à le montrer (...).
djm : Il s'agit du même rapport, heureusement... Le rapport défini dans la définition 47 du Vol. IV est indépendant du choix de M et N, comme je le précise juste avant. C'est le Théorème de Thalès qui le montre : quels que soient les points sur les "bonnes" droites : A'B'/AB = A'C'/AC=B'C'/BC (*) (mettez des valeurs absolues). Ecrivez (*) avec B=O et c'est cuit...

Ce 26 novembre 2009, de A. L. : Bonjour. Juste un mail de remerciement concernant vos livres bénéfique à ma préparation du CAPES 2009 puisque je l'ai eu du premier coup après une simple licence!!! Avec de bonnes notes orales (j'ai tout vos livres d'oraux!!! ) Je suis content... Meme si l'année a été dure! Merci à vous.

Samedi 20 février 2010, de Allison : (...) Je travaille actuellement sur une leçon de capes: la 35 "produit vectoriel". Dans le volume IV de l'épreuve d'exposé, vous proposez une preuve du théorème 97 à la section 8.2.3 p. 296. J'ai deux questions à ce sujet :
- Vous dites que (u,p(v),h(r(p(v)))) et (u,p(v),r(p(v))) ont même orientation car h est de rapport positif.
- Vous dites ensuite que la base (u,p(v),r(p(v))) est directe car r rotation d'angle 0<pi/2<pi.
Comment démontrer ces résultats ? Je sais par définition que deux bases ont même orientation si le déterminant de la matrice de passage de l'une à l'autre est positif, mais je n'arrive pas à écrire les choses. Voilà je vs serais très reconnaissante si vous aviez le temps de me répondre... (...)
djm : Bonjour,
- Pour la première question, h multiplie un vecteur z par k>0, donc la matrice de passage P de (x,y,z) vers (x,y,kz) est de déterminant k>0, donc ces bases ont même orientation.
- Pour la seconde question : la base (p(v), r(p(v))) est directe dans P_u car r est d'angle +Pi/2 (et donc sa matrice en cosinus, sinus... est diagonale avec des 1 sur la diagonale principale, donc de déterminant 1 positif).
On travaille dans le plan P_u orienté compatiblement avec u, donc une base (a,b) de P_u est directe si et seulement si la base (u,a,b) est directe dans l'espace tout entier.
Ici (p(v), r(p(v))) est directe dans P_u donc (u,p(v), r(p(v))) est directe dans l'espace tout entier.
C'est un peu plus embêtant à dire, mais ça passe. Je trouve que ce n'est pas si facile à retrouver, puisqu'il faut prendre ses marques. Et comme on voit bien ce qui se passe sur le dessin, il vaut mieux admettre ce résultat dans un exposé. J'ai essayé de détailler les explications pour que l'on soit rassuré de ne pas avoir trop fait appel à une intuition érigée en preuve.(...)